Question

直线AB：y=-x+b分别与x，y轴交于A（8、0）、B两点，过点B的直线交x轴轴负半轴于C，且OB：OC=4：3
（1）求点B的坐标为

 

；
（2）求直线BC的解析式；
（3）动点M从C出发沿CA方向运动，运动的速度为每秒1个单位长度．设M运动t秒时，当t为何值时△BCM为等腰三角形．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据待定系数法，可得AB的解析式，根据自变量的值，可得相应的函数值；
（2）根据OB：OC=4：3，可得OC的长，根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据等腰三角形的定义，分类讨论：MC=BC，MC=MB，BC=BM，①当MC=BC时，根据路程处以速度等于时间，可得答案；②当MC=MB时，根据两点间的距离，可得关于a的方程，根据解方程，可得a的值，再根据路程除以速度等于时间，可得答案；③当BC=BM时，根据线段垂直平分线的性质，可得MO的长，再根据两点间的距离，可得MC的长，根据路程除以速度等于时间，可得答案．

解答：解：（1）y=-x+b分别与x轴交于A（8、0），得
-8+b=0．解得b=8，
即函数解析式为y=-x+8，
当x=0时，y=8，
B点坐标是（0，8）；
（2）由OB：OC=4：3，BC=8，得
8：BC=4：3，解得BC=6，即C（-6，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，图象经过点B，C，得

b=8 -6k+b=0

，解得

k= 4 3 b=8

，
直线BC的解析式为y=

4

3

x+8；
（3）设M点坐标（a，0），由勾股定理，得BC=

OB2+OC2

=10，
①当MC=BC=10时，由路程处以速度等于时间，得10÷1=10（秒），
即M运动10秒，△BCM为等腰三角形；
②当MC=MB时，MC²=MB²，即（a+6）²=a²+8²，
化简，得12a=28，
解得a=

7

3

即M（

7

3

，0）．
MC=

7

3

-（-6）=

7

3

+6=

25

3

，
由路程除以速度等于时间，得

25

3

÷1=

25

3

（秒），
即M运动

25

3

秒时，△BCM为等腰三角形；
③当BC=BM时，得OC=OM=6，
即MC=6-（-6）=6+6=12，
由路程除以速度等于时间，得12÷1=12（秒），
即M运动12秒时，△BCM为等腰三角形，
综上所述：t=10（秒），t=

25

3

（秒），t=12（秒）时，△BCM为等腰三角形．

点评：本题考查了一次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式，自变量的值与函数值的对应关系；（2）利用待定系数求函数解析式；（3）利用等腰三角形的判定，分类讨论是解题关键．