Question

3．如图，设矩形ABCD的边BC=x，DC=y，连接BD且CE⊥BD，CE=2，BD=4，则（x+y）²-3xy+2的值为10．

Answer 1

分析 由矩形的性质和勾股定理得出BC²+DC²=x²+y²=BD²=16，证明△BCE∽△CDE，得出对应边成比例$\frac{CE}{DE}$=$\frac{BE}{CE}$，设BE=a，则DE=4-a，求出BE、DE，由勾股定理得出x=y=2$\sqrt{2}$，即可得出结果．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴BC²+DC²=x²+y²=BD²=16，
∵CE⊥BD，
∴△BCE∽△CDE，
∴$\frac{CE}{DE}$=$\frac{BE}{CE}$，
即CE²=DE•BE，
设BE=a，则DE=4-a，
∴2²=a（4-a），
解得：a=2，
∴BE=2，DE=2，
∴x=y=2$\sqrt{2}$，
∴（x+y）²-3xy+2=x²+y²-xy+2=4²-2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$+2=10；
故答案为：10．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似得出BE、DE是解决问题的关键．