Question

13．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C，已知点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（1，0），点C在y轴的正半轴上，且∠CAB=30°，若直线l：y=$\sqrt{3}$x+m从点C开始沿y轴向下平移．
（1）当直线l上点D满足DA=DC且∠ADC=90°时，m的值为2$\sqrt{3}$-3；
（2）以动直线l为对称轴，线段AC关于直线l的对称线段A′C′与抛物线有交点，写出m的取值范围-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤m≤$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）过点D作DE⊥y轴，垂足为E，过点A作AF⊥DE，垂足为F．先证明Rt△AFD≌Rt△DEC，由全等三角形的性质可知AF=DE，DF=CE．设点D的坐标为（x，$\sqrt{3}$x+m），接下来，依据AF=DE，DF=CE可列出关于x、m的方程组，从而可解得m的值；
（2）先求得点C的坐标，当直线l经过点C时可求得m=$\sqrt{3}$，当点A的对称点A′在抛物线上时，先求得抛物线的解析式，然后求得AA′的解析式，将直线AA′的解析式与抛物线的解析式联立可求得点A′的坐标，由点A和点A′的坐标可求得点D的坐标，将点D的坐标代入l的解式可求得m=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，从而可求得m的取值范围．

解答 解：如图1所示：过点D作DE⊥y轴，垂足为E，过点A作AF⊥DE，垂足为F．

∵∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠CDE=90°．
∵∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠DAF=∠CDE．
∵在Rt△AFD和Rt△DEC中$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠CDE}\\{∠AFD=∠DEC}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFD≌Rt△DEC．
∴AF=DE，DF=CE．
设点D的坐标为（x，$\sqrt{3}$x+m），则x=$\sqrt{3}$x+m=①，x+3=$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}x$-m②．
①+②得：2x+3=$\sqrt{3}$，
解得：x=$\frac{\sqrt{3}-3}{2}$．
∴$\frac{\sqrt{3}-3}{2}$=$\sqrt{3}×$$\frac{\sqrt{3}-3}{2}$+m．
解得：m=2$\sqrt{3}$-3．
（2）∵OA=3，∠CAB=30°，
∴OC=$\sqrt{3}$．
∴C（0，$\sqrt{3}$）．
①当直线l经过点C时．
∵将C（0，$\sqrt{3}$）代入y=$\sqrt{3}$x+m得：
∴m=$\sqrt{3}$．
②如图2所示：

设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1）．
∵将C（0，$\sqrt{3}$）代入得：-3a=$\sqrt{3}$，解得：a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$．
∵点A与点A′关于l对称，
∴AA′⊥l．
∴直线AA′的一次项系数为-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
设直线AA′的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b．
∵将A（-3，0）代入得：$\sqrt{3}$+b=0，解得：b=-$\sqrt{3}$
∴直线AA′的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$．
将y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$得：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$．
整理得：x²+x-6=0．
解得：x₁=2，x₂=-3．
∵将x=2代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$得：y=-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴点A′的坐标为（2，-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）．
∴D（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{5\sqrt{3}}{6}$）．
将D（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{5\sqrt{3}}{6}$）代入y=$\sqrt{3}x$+m得：$-\frac{\sqrt{3}}{2}$+m=-$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，解得：m=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴m的取值范围是-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤m≤$\sqrt{3}$．
故答案为：（1）2$\sqrt{3}$-3；（2）-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤m≤$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式、全等三角形的性质和判定、一次函数与二次函数的交点坐标，求得出点A和点C的对应点A′、C′恰好在抛物线上时m的值取值是解题的关键．