Question

9．如图，正方形ABCD边长为a，正方形BEFG边长为b，A、B、E在同一直线上，两个正方形在同侧，连AG与DF交于P．
（1）如a=2，b=1，则DF=$\sqrt{10}$；
（2）如a=2，b是一个变量，在b的变化过程中，动点P运动的路径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$π．

Answer 1

分析 （1）如图1中，延长FG交AD于H，则四边形ABGH是矩形，在Rt△DFH中，利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图2中，连接BD、BF，BD交AG于K．由△DBF∽△ABG，推出∠BAG=∠BDF，由∠AKB=∠DKP，推出∠DPA=∠ABK=45°，连接AC交BD于O，易知点P在以O为圆心，OA为半径的圆上运动，运动路径是$\widehat{BC}$，由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，延长FG交AD于H，则四边形ABGH是矩形，

在Rt△DFH中，∵DH=AD=AH=2-1=1，FH=2+1=3，
∴DF=$\sqrt{D{H}^{2}+H{F}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
故答案为$\sqrt{10}$．

（2）如图2中，连接BD、BF，BD交AG于K．

∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGB是正方形，
∴BD=$\sqrt{2}$AB，BF=$\sqrt{2}$BG，∠DBC=∠FBG=45°，
∴∠ABG=∠DBF=90°，
∴$\frac{BD}{BA}$=$\frac{BF}{BG}$=$\sqrt{2}$，
∴△DBF∽△ABG，
∴∠BAG=∠BDF，
∵∠AKB=∠DKP，
∴∠DPA=∠ABK=45°，
连接AC交BD于O，易知点P在以O为圆心，OA为半径的圆上运动，运动路径是$\widehat{BC}$，
∵OC=OB=$\sqrt{2}$，∠COB=90°
∴$\widehat{BC}$的长=$\frac{90•π•\sqrt{2}}{180}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$π．
故答案为$\frac{\sqrt{2}}{2}$π．

点评 本题考查正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、轨迹、圆等知识，解题的关键是正确寻找点P的运动轨迹，题目比较难，属于中考压轴题．