Question

4．如图，在△ABC中，CE，BD为高线，M、N在BD，CE（或延长线上），且BM=AC，CN=AB．
（1）判断AN、AM的关系．
（2）若M、N分别在DB、EC的延长线上，CE=AB，BM=AC，则仍然是否成立，请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先证∠ABM=∠ACE，再证明△ABM≌△NCA（SAS），得出AM=AM，∠BAM=∠CMA，然后证出∠MAN=90°即可；
（2）先证∠ABM=∠NCA，再证明△ABM≌△NCA（SAS），可得AM=AN，∠BAM=∠CNA，再由角的关系证出∠MAN=90°即可解决问题；

解答 解：（1）结论：AN=AM，AN⊥AM
证明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠ABM+∠BAD=90°，∠ACE+∠BAD=90°，
∴∠ABM=∠ACE，
在△ABM和△NCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=CA}\\{∠ABM=∠ACN}\\{AB=CN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△NCA（SAS），
∴AM=AN，∠BAM=∠CNA，
∵∠CNA+∠NAE=90°，
∴∠BAM+∠NAE=90°，
即∠MAM=90°，
∴AN=AM，AN⊥AM
（2）（1）中的结论成立；
证明：如图2所示：由（1）得，∠ABM=∠ACE，
∴∠ABM=∠NCA，
在△ABM和△NCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=AC}\\{∠ABM=∠CGN}\\{AB=CN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△NCA（SAS），
∴AM=AN，∠BAM=∠CNA，
∵∠ACE=∠CNA+∠CAN，∠ACE+∠EAC=90°，
∴∠BAM+∠CAN+∠EAC=90°，
即∠MAN=90°，
∴AM=AN，AM⊥AN．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定；证明角相等和三角形全等是解决问题的关键．