Question

1．在△ABC中，AB=3，∠BAC=60°，把线段BC绕C点逆时针旋转得到线段CD，∠ACB+∠ACD=180°，AD=$\sqrt{19}$，则线段BC的长度为$\frac{\sqrt{31}}{2}$．

Answer 1

分析 如图作BF⊥AC于F，DE⊥AC于E，先证明△BCF≌△DCE得CF=EC，BF=DE，在RT△ABF和RT△ADE中利用勾股定理可以求出BF、CF即可解决问题．

解答 解：如图作BF⊥AC于F，DE⊥AC于E，
在RT△ABF中，∵AB=3，∠BAC=60°，
∴∠ABF=30°，AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，BF=$\sqrt{3}$AF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵∠ACB+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCE=180°，
∴∠BCF=∠DCE，
在△BCF和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFC=∠DEC}\\{∠BCF=∠DCE}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△DCE，
∴CF=EC，BF=DE，
在RT△ADE中，∵$AD=\sqrt{19}$，DE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{7}{2}$，
∴CF=$\frac{1}{2}$（AE-AF）=1，
在RT△BCF中，BC=$\sqrt{B{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{\frac{27}{4}+1}$=$\frac{\sqrt{31}}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{31}}{2}$．

点评 本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．