如图.半圆O的直径AB=4.以长为2的弦PQ为直径.向点O方向作半圆M.其中P点在$\widehat{AQ}$上且不与A点重合.但Q点可与B点重合．发现:$\widehat{AP}$的长与$\widehat{QB}$的长之和为定值l.求l:思考:点M与AB的最大距离为$\sqrt{3}$.此时点P.A间的距离为2,点M与AB的最小距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在$\widehat{AQ}$上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．
发现：$\widehat{AP}$的长与$\widehat{QB}$的长之和为定值l，求l：
思考：点M与AB的最大距离为$\sqrt{3}$，此时点P，A间的距离为2；
点M与AB的最小距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
探究：当半圆M与AB相切时，求$\widehat{AP}$的长．
（注：结果保留π，cos35°=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，cos55°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$）

分析（1）半圆O的长度是固定不变的，由于PQ也是定值，所以$\widehat{PQ}$的长度也是固定值，所以$\widehat{AP}$与$\widehat{QB}$的长之和为定值；
（2）过点M作MC⊥AB于点C，当C与O重合时，M与AB的距离最大，此时，∠AOP=60°，AP=2；当Q与B重合时，M与AB的距离最小，此时围成的封闭图形面积可以用扇形DMB的面积减去△DMB的面积即可；
（3）当半圆M与AB相切时，此时MC=1，且分以下两种情况讨论，当C在线段OA上；当C在线段OB上，然后分别计出$\widehat{AP}$的长．

解答解：发现：如图1，连接OP、OQ，
∵AB=4，
∴OP=OQ=2，
∵PQ=2，
∴△OPQ是等边三角形，
∴∠POQ=60°，
∴$\widehat{PQ}$=$\frac{60°π×2}{180°}$=$\frac{2}{3}π$，
又∵半圆O的长为：$\frac{1}{2}$π×4=2π，
∴$\widehat{AP}$+$\widehat{QB}$=2π-$\frac{2}{3}$π=$\frac{4}{3}π$，
∴l=$\frac{4}{3}$π；

思考：如图2，过点M作MC⊥AB于点C，
连接OM，
∵OP=2，PM=1，
∴由勾股定理可知：OM=$\sqrt{3}$，
当C与O重合时，
M与AB的距离最大，最大值为$\sqrt{3}$，
连接AP，
此时，OM⊥AB，
∴∠AOP=60°，
∵OA=OP，
∴△AOP是等边三角形，
∴AP=2，

如图3，当Q与B重合时，
连接DM，
∵∠MOQ=30°，
∴MC=$\frac{1}{2}$OM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
此时，M与AB的距离最小，最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
设此时半圆M与AB交于点D，
DM=MB=1，
∵∠ABP=60°，
∴△DMB是等边三角形，
∴∠DMB=60°，
∴扇形DMB的面积为：$\frac{60°π×{1}^{2}}{360°}$=$\frac{π}{6}$，
△DMB的面积为：$\frac{1}{2}$MC•DB=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为：$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$；

探究：当半圆M与AB相切时，
此时，MC=1，
如图4，当点C在线段OA上时，
在Rt△OCM中，
由勾股定理可求得：OC=$\sqrt{2}$，
∴cos∠AOM=$\frac{OC}{OM}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴∠AOM=35°，
∵∠POM=30°，
∴∠AOP=∠AOM-∠POM=5°，
∴$\widehat{AP}$=$\frac{5°π×2}{180°}$=$\frac{π}{18}$，
当点C在线段OB上时，
此时，∠BOM=35°，
∵∠POM=30°，
∴∠AOP=180°-∠POM-∠BOM=115°
∴$\widehat{AP}$=$\frac{115°π×2}{180°}$=$\frac{23}{18}π$，
综上所述，当半圆M与AB相切时，$\widehat{AP}$的长为$\frac{π}{18}$或$\frac{23}{18}π$．