Question

12．反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），tan∠AOB=$\frac{3}{2}$，将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象恰好经过DC的中点E．
（1）求k的值和直线AE的函数表达式；
（2）若直线AE与x轴交于点M、与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB=$\frac{3}{2}$，求得AB=3，代入y=$\frac{k}{x}$得到k=xy=6，根据已知条件得到点E的纵坐标为$\frac{3}{2}$，由点E在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，得到点E的坐标为（4，$\frac{3}{2}$），解方程组即可得到结论；
（2）根据y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$求得点M（6，0），N（0，$\frac{9}{2}$），延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，OF=3，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）由已知得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB=$\frac{3}{2}$，
∴AB=3，
∴A点的坐标为（2，3），
∴k=xy=6，
∵DC由AB平移得到，点E为DC的中点，
∴点E的纵坐标为$\frac{3}{2}$，
又∵点E在y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴点E的坐标为（4，$\frac{3}{2}$），
设直线MN的函数表达式为y=k₁x+b，
则$\left\{\begin{array}{l}2{k_1}+b=3\\ 4{k_1}+b=\frac{3}{2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k_1}=-\frac{3}{4}\\ b=\frac{9}{2}\end{array}\right.$，
∴直线MN的函数表达式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$；

（2）结论：AN=ME，
理由：在表达式y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$中，
令y=0可得x=6，令x=0可得y=$\frac{9}{2}$，
∴点M（6，0），N（0，$\frac{9}{2}$），
延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，OF=3，
∴NF=ON-OF=x，∵CM=6-4=2=AF，EC=$\frac{3}{2}$=NF，
在△ANF与△MEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=CM}\\{∠AFN=∠MCE}\\{FN=CE}\end{array}\right.$，
∴△ANF≌△MEC，
∴AN=ME．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，解直角三角形，图形与坐标的性质，求的点E的坐标是解题的关键．