Question

2．已知二次函数y=-x²+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（-1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围
（3）当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值．

Answer 1

分析 （1）将（-1，0）和（0，3）两点代入二次函数y=x²+bx+c，求得b和c；从而得出抛物线的解析式；
（2）令y=0，解得x₁，x₂，得出此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标，结合函数图象直接回答问题；
（3）根据抛物线顶点坐标回答问题．

解答 解：（1）由二次函数y=x²+bx+c的图象经过（-1，0）和（0，3）两点，
得$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$
解这个方程组，得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．

（2）令y=0，得-x²+2x+3=0．
解这个方程，得x₁=-1，x₂=3．
因为抛物线的开口方向向下，
所以当-1＜x＜3时，y＞0；

（3）由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4知，该抛物线的顶点坐标是（1，4）．
故当x=1时，y_最大值=4．

点评 此题考查了二次函数与x轴的交点问题以及用待定系数法求二次函数的解析式．解题时，利用了二次函数解析式的三种形式间的转化．