Question

13．如图，在△ABC中，AB=AC=5，∠BAC=45°，将BC绕点顺时针旋转90°至BD，则AD=5$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作CM⊥AB、DN⊥AB，在Rt△ACM中，可求得AM=CM=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$及BM的长，再证△BCM≌△DBN可得BN=CM、DN=BM，继而得AN，最后根据勾股定理即可得AD的长．

解答 解：过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB，交AB延长线于点N，

∴∠BMC=∠DNB=90°，
∵AC=5，∠CAB=45°，
∴在Rt△ACM中，AM=CM=ACsin∠CAB=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴BM=AB-AM=5-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
由旋转可知BC=BD，∠CBD=90°，
∴∠CBM+∠DBN=90°，
又∵∠CBM+∠BCM=90°，
∴∠DBN=∠BCM，
在△BCM和△DBN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BMC=∠DNB}\\{∠BCM=∠DBN}\\{BC=BD}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△DBN（AAS），
∴BN=CM=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，DN=BM=5-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴AN=AB+BN=5+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△ADN中，AD=$\sqrt{A{N}^{2}+D{N}^{2}}$=$\sqrt{（5+\frac{5\sqrt{2}}{2}）^{2}+（5-\frac{5\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=5$\sqrt{3}$，
故答案为：5$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查旋转的性质及全等三角形的性质和判定、直角三角形中三角函数的应用，构建以AD为边的直角三角形是解题的关键．