Question

7．如图，正方形ABCD中，已知AB=3，点E，F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，则△AEF的面积为9-3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图，把△ADF绕点A逆时针旋转90°得到△ABM．则AM=AF，∠FAD=∠MAB=15°，首先证明△EAF≌EAM，推出ME=EF，推出ME=BM+BE=BE+DF，设FE=a，在Rt△ABE中，由∠ABE=90°，AB=3，∠BAE=30°，推出BE=$\sqrt{3}$，DF=a-$\sqrt{3}$，CF=3-（a-$\sqrt{3}$），根据EF²=EC²+CF²，列出方程求出a即可解决问题．

解答 解：如图，把△ADF绕点A逆时针旋转90°得到△ABM．则AM=AF，∠FAD=∠MAB=15°

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠D=∠ABC=∠ABM=90°，
∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，
∴∠EAF=45°，∠MAE=∠MAB+∠BAE=45°=∠EAF，
在△EAF和△EAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠EAF=∠EAM}\\{AF=AM}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌EAM，
∴ME=EF，
∵ME=BM+BE=BE+DF，设FE=a，
在Rt△ABE中，∵∠ABE=90°，AB=3，∠BAE=30°，
∴BE=$\sqrt{3}$，DF=a-$\sqrt{3}$，CF=3-（a-$\sqrt{3}$），
∵EF²=EC²+CF²，
∴a²=（3-$\sqrt{3}$）²+[3-（a-$\sqrt{3}$）]²，
∴a=6-2$\sqrt{3}$，
∴S_△AEF=S_△AME=$\frac{1}{2}$•EM•AB=$\frac{1}{2}$•（6-2$\sqrt{3}$）×3=9-3$\sqrt{3}$．
故答案为9-3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角旋转等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线的方法，记住基本图形、基本结论，属于中考常考题型．