Question

10．如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=CD．
①求证：△ABF∽△CEB．
②若△DEF的面积是2，求平行四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质，证明两角对应相等，两三角形相似即可．
（2）首先证明△ABF≌DEF，再证明△EFD∽△EBC，利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，即可求出△EBC的面积，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：如图，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=DE，AB∥CE，∠A=∠C，
∴∠ABF=∠E，
∴△ABF∽△CEB．

（2）在△ABF和△DEF中．
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠E}\\{∠AFB=∠EFD}\\{AB=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DEF，
∴S_△ABF=S_△DEF=2，
∵DF∥BC，
∴△EFD∽△EBC，
∴$\frac{{S}_{△EFD}}{{S}_{△EBC}}$=（$\frac{ED}{EC}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴S_△EBC=8，
∴S_{四边形BCDF}=6，
∴S_{平行四边形ABCD}=2+6=8．

点评 本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．