Question

12．先阅读，然后解决问题：
已知：一次函数y=-x+2和反比例函数y=$\frac{-8}{x}$，求这两个函数图象在同一坐标系内的交点坐标．
解：解方程-x+2=$\frac{-8}{x}$
去分母，得
-x²+2x=-8
整理得
x²-2x-8=0
解这个方程得：x₁=-2　　x₂=4
经检验，x₁=-2　x₂=4是原方程的根
当x₁=-2，y₁=4；x₂=4，y₂=-2
∴交点坐标为（-2，4）和（4，-2）
问题：
（1）在同一直角坐标系内，求反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象与一次函数y=x+3的图象的交点坐标；
（2）判断一次函数y=2x-3的图象与反比例函数y=-$\frac{4}{x}$的图象在同一直角坐标系内有无交点，说明理由．

Answer 1

分析 （1）把y=$\frac{4}{x}$的和y=x+3组成方程组，求出方程组的解即为图象在直角坐标系中的交点坐标；
（2）解方程2x-3=-$\frac{4}{x}$，整理得2x²-3x+4=0，由于△=（-3）²-4×2×4=-23＜0，得到方程2x-3=-$\frac{4}{x}$无实数根，于是得到结论．

解答 解：（1）解方程x+3=$\frac{4}{x}$，
去分母，得，
x²+3x=4，
整理得，
x²+3x-4=0，
解这个方程得：x₁=-1，x₂=4，
经检验，x₁=-1　x₂=4是原方程的根，
当x₁=1，y₁=4；x₂=-4，y₂=-1，
∴交点坐标为（1，1）和（-4，-1）；

（2）一次函数y=2x-3的图象与反比例函数y=-$\frac{4}{x}$的图象在同一直角坐标系内无交点，
理由：解方程2x-3=-$\frac{4}{x}$，
去分母，得
2x²-3x=-4，
整理得
2x²-3x+4=0，
∵△=（-3）²-4×2×4=-23＜0，
∴方程2x-3=-$\frac{4}{x}$无实数根，
∴一次函数y=2x-3的图象与反比例函数y=-$\frac{4}{x}$的图象在同一直角坐标系内无交点．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，知道方程组的解就是交点坐标是解题的关键．