Question

20．如图，已知直线y=-$\frac{3}{4}$x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在直线y=-x上，若点D与A，B，C是平行四边形的四个顶点，则线段CD长的最小值为7$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 分两种情形：①当AB∥CD时，CD=AB=10，②当CD为对角线时，AB的中点E（4，3），设C（x，-x），求出CE，构建二次函数利用二次函数的性质解决最值问题．

解答 解：①当AB∥CD时，CD=AB=10，
②当CD为对角线时，AB的中点E（4，3），设C（x，-x），
CE=$\sqrt{（x-4）^{2}+（-x-3）^{2}}$=$\sqrt{2{x}^{2}-2x+25}$=$\sqrt{2（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{49}{2}}$，
当x=$\frac{1}{2}$时，CE_最小=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
此时CD_最小=7$\sqrt{2}$．
∵7$\sqrt{2}$＜10，
∴CD的最小值为7$\sqrt{2}$．
故答案为7$\sqrt{2}$．

点评 本题考查平行四边形的性质、一次函数、两点之间的距离公式等知识，解题的关键是学会分类讨论，构建二次函数利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型．