Question

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），$\widehat{A{A}_{1}}$是以点B为圆心，BA为半径的圆弧，$\widehat{{A}_{1}{A}_{2}}$是以点O为圆心，OA₁为半径的圆弧，$\widehat{{A}_{2}{A}_{3}}$是以点C为圆心，CA₂为半径的圆弧，$\widehat{{A}_{3}{A}_{4}}$是以点A为圆心，AA₃为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述做法得到的曲线AA₁A₂A₃A₄A₅…称为正方形的渐开线“，那么点A₅的坐标是（6，0），点A₂₀₁₆的坐标是（1，2017）．

Answer 1

分析 根据画弧的方法以及罗列部分点的坐标发现：点A_x的坐标满足“A_4n=（1，4n+1），A_4n+1=（4n+2，0），A_4n+2=（0，-（4n+2）），A_4n+3=（-（4n+3），1）”，根据这一规律即可得出A₅和A₂₀₁₆点的坐标．

解答 解：观察，找规律：A（1，1），A₁（2，0），A₂（0，-2），A₃（-3，1），A₄（1，5），A₅（6，0），A₆（0，-6），A₇（-7，1），A₈（1，9）…，
∴A_4n=（1，4n+1），A_4n+1=（4n+2，0），A_4n+2=（0，-（4n+2）），A_4n+3=（-（4n+3），1）．
∵5=4+1，2016=504×4，
∴A₅的坐标为（64+2，0）=（6，0），A₂₀₁₆的坐标为（1，4×504+1）=（1，2017）．
故答案为：（6，0）；（1，2017）．

点评 本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是罗列出部分点的坐标找出“A_4n=（1，4n+1），A_4n+1=（4n+2，0），A_4n+2=（0，-（4n+2）），A_4n+3=（-（4n+3），1）”这一规律．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合画弧的方法以及部分点的坐标寻找出来点的排布规律是关键．