Question

（2013常德）如图，已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．

（1）如图（1），当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；

（2）如图（1），若CB＝a，CE＝2a，求BM，ME的长；

（3）如图（2），当∠BCE＝45°时，求证：BM＝ME．

Answer 1

（1）证法一：如答图（1），延长AB交CF于点D，∵△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，∴△BCD为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝BD，∴点B为线段AD的中点．

又∵点M为线段AF的中点，

∴BM为△ADF的中位线，

∴BM∥CF．

证法二：如答图（2），延长BM交EF于D，

∵∠ABC＝∠CEF＝90°，

∴AB⊥CE，EF⊥CE，

∴AB∥EF，

∴∠BAM＝∠DFM．

∵M是AF的中点，∴AM＝MF．

在△ABM和△FDM中，

∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB＝DF．

∵BE＝CE－BC＝CE－AB，DE＝EF－DF，∴BE＝DE，

∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠EBM＝45°．

∵在等腰直角△CEF中，∠ECF＝45°，

∴∠EBM＝∠ECF，∴MB∥CF．

（2）解法一：如答图（3）所示，延长AB交CF于点D．∵△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，∴△BCD为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝BD＝a，，∴点B为AD中点．

又点M为AF中点，∴．

分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEG为等腰直角三角形，

∴CE＝EF＝GE＝2a，，

∴点E为FG的中点．又点M为AF的中点，∴．

∵，，∴，

∴．

解法二：如答图（3），延长BM交EF于H．

由题易得EF∥AB．

又AM＝MF，

∴△ABM≌△FHM，∴BM＝HM，AB＝HF＝a．

又∵CE＝EF＝2a，∴BE＝EH＝a，

∴△BEH是等腰直角三角形，∴△BEM是等腰直角三角形，

∴．

（3）证法一：如答图（4），延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝BD，AC＝CD，∴点B为AD中点．又点M为AF中点，∴．

延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，∴CE＝EF＝EG，CF＝CG，∴点E为FG中点．又点M为AF中点，∴．

在△ACG与△DCF中，

∴△ACG≌△DCF（SAS），

∴AG＝DF，∴BM＝ME．

证法二：如答图（5），延长BM交CF于D，连接BE、DE，

∵∠BCE＝45°，∴∠ACD＝45°×2＋45°＝135°，

∴∠BAC＋∠ACF＝45°＋135°＝180°，∴AE∥CF，

∴∠BAM＝∠DFM．

∵M是AF的中点，

∴AM＝FM，

在△ABM和△FDM中，

∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB＝DF，BM＝DM，

∴AB＝BC＝DF．

在△BCE和△DFE中，

∴△BCE≌△DFE（SAS），∴BE＝DE，∠BEC＝∠DEF，

∴∠BED＝∠BEC＋∠CED＝∠DEF＋∠CED＝∠CEF＝90°，

∴△BDE是等腰直角三角形．

叉∵BM＝DM，∴BM＝ME．

【解析】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．