Question

在△ABC中，∠ACB-∠B=90°，∠BAC的角平分线交BC于E，△BAC的外角平分线交BC于F，证明：AE=AF．

Answer 1

考点：等腰直角三角形

专题：证明题

分析：由AE平分∠BAC，AF是△BAC的外角的平分线得到∠EAF=∠EAC+∠CAF=

1

2

（∠BAC+∠CAD）=90°，然后根据三角形的内角和与三角形外角的性质即可得到∠AFE=45°，进而得到AE=AF．

解答：证明：∵AE平分∠BAC，AF是△BAC的外角的平分线，
∴∠EAF=∠EAC+∠CAF=

1

2

（∠BAC+∠CAD）=90°，
∴△EAF是直角三角形，
∵∠ACB-∠B=90°，
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠B=180°-（90°+∠B）-∠B=90°-2∠B，
∴∠BAE=

1

2

∠BAC=45°-∠B，
∴∠AEC=∠BAE+∠B=45°，
∴∠AFE=45°，
∴∠AEC=∠AFE，
∴AE=AF．

点评：考查了三角形的外角平分线的性质和等腰直角三角形的性质，关键是结合图形进行角的关系的推理．