Question

10．（1）如图1，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
①直接写出图中∠AOF的余角；
②如果∠EOF=$\frac{1}{5}$∠AOD，求∠EOF的度数．
（2）如图2，已知O为线段AB中点，AC=$\frac{2}{3}$AB，BD=$\frac{4}{5}$AB，线段OC长为1，求线段AB，CD的长．

Answer 1

分析 （1）①由垂直的定义可知∠AOF+∠COA=90°，∠AOF+∠FOE=90°，从而可知∠COA与∠FOE是∠AOF的余角，由对顶角的性质从而的得到∠BOD是∠AOF的余角；
②依据同角的余角相等可知∠FOE=∠DOB，∠EOF=$\frac{1}{5}$∠AOD，从而得到∠EOF=$\frac{1}{6}$平角．
（2）先根据中点的定义和已知得到OC所占的分率，从而得到线段AB的长，再根据已知得到CD所占的分率，从而得到线段CD的长．

解答 解：（1）①∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠AOF+∠COA=90°，∠AOF+∠FOE=90°．
∴∠COA与∠FOE是∠AOF的余角．
∵由对顶角相等可知：∠AOC=∠BOD，
∴∠BOD+∠AOF=90°．
∴∠BOD与∠APF互为余角．
∴∠AOF的余角为∠AOC，∠FOE，∠BOD；
②∵∠AOC=∠EOF，∠AOC+∠AOD=180°，∠EOF=$\frac{1}{5}$∠AOD，
∴6∠AOC=180°．
∴∠EOF=∠AOC=30°．
（2）∵O为线段AB中点，
∴AO=$\frac{1}{2}$AB，
∵AC=$\frac{2}{3}$AB，
∴OC=$\frac{1}{6}$AB，
∵线段OC长为1，
∴AB=6，
∵AC=$\frac{2}{3}$AB，BD=$\frac{4}{5}$AB，
∴CD=AC+BD-AB=$\frac{7}{15}$AB=$\frac{7}{15}$×6=$\frac{14}{5}$．

点评 本题主要考查的是垂线、余角的定义、对顶角、邻补角的定义，掌握相关性质是解题的关键．