Question

2．如图，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，D是弧AC的中点，过点D作DE⊥BC于点E，并交BA延长线于点F，若AB=9，CE=1，则AD的长为（　　）

• A． 2
• B． 2.4
• C． 3
• D． 3.6

Answer 1

分析 连接AD，OD、AC，OD交AC于点M，由圆周角定理得出∠ACB=90°，OD=OA=$\frac{1}{2}$AB=4.5，得出∠ECM=90°，由垂径定理得出OD⊥AC，证出四边形DECM是矩形，得出DM=CE=1，∴OM=OD-DM=3.5，在Rt△AOM中，由勾股定理得出AM=2$\sqrt{2}$，在Rt△AOD中，由勾股定理求出AD即可．

解答 解：连接AD，OD、AC，OD交AC于点M，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，OD=OA=$\frac{1}{2}$AB=4.5，
∴∠ECM=90°，
∵D是弧AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴四边形DECM是矩形，
∴DM=CE=1，
∴OM=OD-DM=3.5，
在Rt△AOM中，AM=$\sqrt{O{A}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{4．{5}^{2}-3．{5}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
在Rt△AOD中，AD=$\sqrt{O{D}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{9}$=3；
故选：C．

点评 本题考查了圆周角定理、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握圆周角定理和垂径定理，证出四边形是矩形是解决问题的关键．