Question

17．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，射线BE、BF将∠ABC三等分交AD于E、F两点，连接CE并延长交AB于点G，求证：$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AG}{GB}$．

Answer 1

分析 设CG与BF交点为O，连接BF，根据等腰三角形的性质得到BD=DC，求得∠FCE=∠FBE=∠FBG，推出G，B，C，F四点共圆，由圆周角定理得到∠GFB=∠GCB，等量代换得到∠GFB=∠FBE，证得GF∥BE，推出△AGF∽△ABE，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：设CG与BF交点为O，连接BF，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
∴FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB，
同理∠EBC=∠ECB，
∴∠FBE=∠FCE，
∵BE，BF三等分∠GBD，
∴∠FCE=∠FBE=∠FBG，
∴G，B，C，F四点共圆，
∴∠GFB=∠GCB，
∴∠GFB=∠FBE，
∴GF∥BE，
∴△AGF∽△ABE，
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AG}{GB}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，四点共圆，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．