Question

10．如图，一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接矩形，已知矩形的高AC=2米，宽CD=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$米．
（1）求此圆形门洞的半径；
（2）求要打掉墙体的面积．

Answer 1

分析 （1）先证得BC是直径，在直角三角形BCD中，由BD与CD的长，利用勾股定理求出BC的长，即可求得半径；
（2）打掉墙体的面积=2（S_扇形OAC-S_△AOC）+S_扇形OAB-S_△AOB，根据扇形的面积和三角形的面积求出即可．

解答 解：（1）连结AD、BC，
∵∠BDC=90°，
∴BC是直径，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
∴圆形门洞的半径为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．  
（2）取圆心O，连结OA．由上题可知，OA=OB=AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴△AOB是正三角形，
∴∠AOB=60°，∠AOC=120°，
∴S_△AOB=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，S_△AOC=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
∴S=2（S_扇形OAC-S_△AOC）+S_扇形OAB-S_△AOB
=2（$\frac{120π×（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）+（$\frac{60π×（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
=$\frac{10}{9}$π-$\sqrt{3}$
∴打掉墙体面积为$\frac{10}{9}$π-$\sqrt{3}$平方米．

点评 本题考查了圆周角定理和垂径定理，扇形和三角形的面积，矩形的性质，关键是理解阴影部分的面积是由哪几部分图形组成的，然后利用公式求值．