Question

8．若二元二次方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{-y}^{2}=1}\\{y=k（x-2）+1}\end{array}\right.$有唯一解，求实数k的值．

Answer 1

分析 先利用代入消元法得到（1-k²）x²+2k（2k-1）x-4k²+4k-2=0，再分类讨论：当1-k²=0时，即k=±1，关于x的方程变形为一元一次方程，方程有一个解，则方程组有唯一解；当1-k²≠0时，关于x的方程变形为一元二次方程，当△=0时，方程有两组相同的解，方程组有唯一解，所以[2k（2k-1）]²-4（1-k²）（-4k²+4k-2）=0，整理得3k²-4k+2=0，而此方程无实数根，然后综合两种情况得到k=±1．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{y}^{2}=1}&{①}\\{y=k（x-2）+1}&{②}\end{array}\right.$，
把②代入①得x²-[k（x-2）+1]²=1，
整理得（1-k²）x²+2k（2k-1）x-4k²+4k-2=0，
当1-k²=0时，即k=±1，关于x的方程变形为一元一次方程，方程有一个解；
当1-k²≠0时，即k≠±1，关于x的方程变形为一元二次方程，
当△=0时，方程有两组相同的解，即[2k（2k-1）]²-4（1-k²）（-4k²+4k-2）=0，
整理得3k²-4k+2=0，此方程无实数根，
所以当k=1或-1时，原方程组有唯一解．

点评 本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．