Question

13．在图1到图4中，已知△ABC的面积为m．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D使CD=BC，连接DA，若△ACD的面积为S₁，则S₁=m．（用含m的式子表示）
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S₂，则S₂=2m．（用含m的代数式表示）
（3）如图3，在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD于E，得到△DEF，若阴影部分的面积为S₃，则S₃=6m．（用含m的代数式表示）并运用上述2的结论写出理由．
（4）可以发现将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF，如图3，此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的7倍．
（5）应用上面的结论解答下面问题：
去年在面积为15平方面的△ABC空地上栽种了各种花卉，今年准备扩大种植规模，把△ABC内外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH，如图4，求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？

Answer 1

分析 （1）利用三角形的面积公式，等底同高的三角形面积相等，本题得以解决．
（2）利用三角形的面积公式，等底同高的三角形面积相等，本题得以解决．
（3）利用三角形的面积公式，等底同高的三角形面积相等，本题得以解决．
（4）利用三角形的面积公式，等底同高的三角形面积相等，本题得以解决．
（5）根据第四问的经验，得出扩展一次面积变为原来的7倍，得出两次扩展面积，本题得以解决

解答 解：（1）∵CD=BC，
∴△ABC和△ACD的面积相等（等底同高），
∴得出结论S₁=m．
故答案为m．
（2）如图2，连接AD，

∵AE=CA，
∴△DEC的面积S₂为△ACD的面积S₁的2倍，
∴得出结论S₂=2m．
故答案为2m
（3）结合（1）（2）得出阴影部分的面积为△DEC面积的3倍，
∴得出结论则S₃=6m．
理由：如图3，连接AD，BE，CF，

由（2）有，S_△CDE=2m，
同（2）的方法得到，
S_△EAF=2m，
S_△BDF=2m，
∴S₃=S_△CDE+S_△EAF+S_△BDF=6m，
故答案为6m
（4）S_△DEF=S_阴影+S_△ABC
=S₃+S_△ABC
=6m+m
=7m
=7S_△ABC
∴得出结论扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的7倍．
故答案为7．
（5）根据（4）结论可得两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为（7×7-1）×15=720（平方米），
答：求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为720平方米．

点评 本题考查了学生对面积公式的应用，同时考查到了学生的读题能力，利用类推的方法得出结论．解题的关键是找到扩展后的三角形的面积是原来的7倍．