在平面直角坐标系xOy中.过原点O及点A作矩形OABC.∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发.以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿射线OD方向移动,同时点Q从点O出发.以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．(1)当点P移动到点D时.t=2秒, (2)连接点A.C.求直线AC的解析式,(3)若点M是直线AC上第一象限内一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．
（1）当点P移动到点D时，t=2秒；
（2）连接点A，C，求直线AC的解析式；
（3）若点M是直线AC上第一象限内一点，是否存在某一时刻，使得四边形OPMQ为平行四边形？若存在，请直接写出t的值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据矩形以及角平分线的性质可得出△OAD为等腰直角三角形，再根据点A的坐标结合等腰直角三角形的性质即可得出OD的长度，从而可得出t值；
（2）设直线AC解析式为y=kx+b，根据点A、C的坐标利于待定系数法即可求出直线AC的解析式；
（3）假设存在，找出点P、O、Q三点的坐标，根据平行四边形的性质--对角线互相平分，分别以OP、OQ、PQ为对角线求出点M的坐标，再根据点M是直线AC上第一象限内一点，即可求出t值以及点M的坐标．

解答解：（1）∵四边形OABC为矩形，且∠AOC的平分线交AB于点D，
∴△OAD为等腰直角三角形，
∵点A（0，2），
∴OA=2，OD=2$\sqrt{2}$，
点P移动到点D时，t=2$\sqrt{2}$÷$\sqrt{2}$=2（秒）．
故答案为：2．
（2）设直线AC解析式为y=kx+b，
将点A（0，2）、C（6，0）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AC解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+2．
（3）假设存在，过点P作PE⊥x轴于点E，如图所示．
由（1）可知△POE为等腰直角三角形，
∴点P（t，t）．
O（0，0），Q（2t，0）．
四边形OPMQ为平行四边形分三种情况：
①以OP为对角线时，点M（0+t-2t，0+t-0），即（-t，t），
∵点M在第一象限，
∴此情况不符合要求；
②以OQ为对角线时，点M（0+2t-t，0+0-t），即（t，-t），
∵点M在第一象限，
∴此情况不符合要求；
③以PQ为对角线时，点M（t+2t-0，t+0-0），即（3t，t），
∵点M在第一象限内，且点M在直线AC上，
∴t=-$\frac{1}{3}$×3t+2，解得：t=1，
此时点M的坐标为（3，1）．
综上可知：若点M是直线AC上第一象限内一点，存在某一时刻，使得四边形OPMQ为平行四边形，此时t=1，点M的坐标为（3，1）．

点评本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、待定系数法求函数解析式以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）求出线段OD的长；（2）利用待定系数法求出函数解析式；（3）分三种情况讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行四边形的性质--对角线互相平分，由平行四边形的三个顶点坐标求出第四个顶点的坐标是关键．

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