Question

14．定义：有一组邻边相等且对角线相等的四边形称为“美好四边形”．
（1）从学过的特殊四边形中，写出一个“美好四边形”；
（2）如图，在4×4的网格图中有A、B两个格点，请在答题卷给出的两个网格图上各找出C、D两个格点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形互不全等的“美好四边形”，画出相应的“美好四边形”，并写出该“美好四边形”的对角线长．
（3）如图，已知等边△ABC，在△ABC外存在点D，设∠BDC=α，∠DAC=β，探究α、β满足什么关系时，四边形ABCD为“美好四边形”．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和“美好四边形”的定义解答；
（2）根据“美好四边形”的定义作图，根据勾股定理求出对角线的长；
（3）根据等边三角形的性质和“美好四边形”的定义以及三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算即可．

解答 解：（1）∵正方形四条边相等且对角线相等，满足“美好四边形”的条件，
∴正方形是“美好四边形”；
（2）图1中两个四边形ABCD都是“美好四边形”，
它们的对角线长都是$\sqrt{10}$；
（3）∵△ABC是等边三角形，四边形ABCD为“美好四边形”，
∴AB=AC=BC=BD，∠CBA=∠CAB=60°，
∵∠BDC=α，
∴∠BCD=α，
∴∠DBC=180°-2α，
∴∠ABD=60°-∠DBC=2α-120°，
∵BA=BD，
∴∠BAD=∠BDA=$\frac{180°-（2α-120°）}{2}$=150°-α，
∵∠DAC=β，
∴150°-α-β=60°，
∴α+β=90°．

点评 本题考查的是新定义、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，正确理解“美好四边形”的定义、掌握等腰三角形的性质和等边三角形的性质是解题的关键．