Question

5．如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=$\frac{1}{2}$AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．

请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：
（1）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长=15cm．
（2）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA=3：1．
（3）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=DC，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，若BP=2，求BQ的长．

Answer 1

分析 （1）根据线段垂直平分线的性质知CD=BD，得出△ACD的周长=AC+AB；
（2）连接AD．利用等腰三角形的性质、垂直的定义推知∠B=∠ADE=30°，然后由”30度角所对的直角边是斜边的一半“分别求得BE、AE的值，即可得出结果；
（3）根据全等三角形的判定定理SAS证明△BAE≌△ACD，根据全等三角形的对应角相等，以及三角形外角的性质，可以得到∠PBQ=30°，根据直角三角形的性质得出PQ=1，再由勾股定理求出BQ即可．

解答 解：（1）∵DE是线段BC的垂直平分线，∠ACB=90°，
∴CD=BD，AD=BD．
又∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴△ACD的周长=AC+AB=3BD=15cm．
故答案为：15cm；
（2）连接AD，如图所示．
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，
∴∠BAD=60°．
又∵DE⊥AB，
∴∠B=∠ADE=30°，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD，EA=$\frac{1}{2}$AD，
∴BE：EA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD：$\frac{1}{2}$AD，
又∵BD=$\sqrt{3}$AD，
∴BE：AE=3：1．
故答案为：3：1．
（3）∵△ABC为等边三角形．
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
在△BAE和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CD}&{\;}\\{∠BAC=∠ACB}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠BPQ为△ABP外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=2，
∴PQ=1，
∴BQ=$\sqrt{B{P}^{2}-P{Q}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质以及含30度角直角三角形的性质．直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．