Question

19．如图CO是等腰△ABC底边AB上的高，AB=6，点P从点C出后沿CO以ka个单位/秒的速度到达点G，再沿GA以a个单位/秒的速度到达点A．
（1）当CO=3$\sqrt{3}$，CG=2$\sqrt{3}$时，点P的运动距离=4$\sqrt{3}$．
（2）当CO=3$\sqrt{3}$且满足k=2，a=1时，求运动时间t的最小值．
（3）当CO=6，其余条件不变时，取K=$\sqrt{5}$时，存在最短运动时间，此时OG的长=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形三线合一的性质求出AO的长，利用勾股定理求AG，则CG与AG的和就是点P的运动距离；
（2）作辅助线构建最短距离AH，因为点P在CG与AG的速度不同，因此要构建同速度的最短距离AH，满足k=$\frac{CG}{GH}$=2，求出这时的CG和AG，代入速度计算时间即可；
（3）与（2）同理，作辅助线构建最短距离AH，满足k=$\frac{CG}{GH}$，利用同角三角函数求出结论．

解答 解：（1）如图1，∵CO=3$\sqrt{3}$，CG=2$\sqrt{3}$，
∴OG=3$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∵△ABC是等腰三角形，CO是高，
∴AO=BO=$\frac{1}{2}$AB=3，
由勾股定理得：AG=$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴点P的运动距离=AG+CG=2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
故答案为：4$\sqrt{3}$；
（2）如图2，过点A作AH⊥BC于点H，交CO于点G，
∵tan∠CAB=$\frac{OC}{AO}$=$\frac{3\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴∠CAB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵CO⊥AB，
∴∠OCB=30°，则GH=$\frac{1}{2}$GC，
最短距离AH=3$\sqrt{3}$，OG=$\sqrt{3}$，CG=2$\sqrt{3}$，AG=2$\sqrt{3}$，
∴t_最小值=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$+2$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$；
（3）如图3，过点A作AH⊥BC于点H，交CO于点G，
∵∠HAB=∠OCB，
tan∠HAB=tan∠OCB=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OG}{AO}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OG}{3}=\frac{1}{2}$，
∴OG=$\frac{3}{2}$，
则AG=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴k=$\frac{CG}{GH}=\frac{AG}{OG}$=$\frac{\frac{3\sqrt{5}}{2}}{\frac{3}{2}}$=$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$，$\frac{3}{2}$．

点评 本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，重点考查了等腰三角形三线合一的性质，利用动点问题把行程问题与几何问题结合起来；如果求最短时间，速度不同，要化成同速度来求最小值．