Question

3．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线与BE的延长线相交于点F，连接CF．
（1）求证：四边形CDAF为平行四边形；
（2）若∠BAC=90°，AC=AF，且AE=2，求线段BF的长．

Answer 1

分析 （1）用一组对边平行且相等来得出四边形CDAF为平行四边形；
（2）构造直角三角形，判断出△ACD是等边三角形，得出特殊角，最后用锐角三角函数，勾股定理计算即可．

解答 解：（1）∵E是AD的中点，
∴AE=ED，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE，
∴△AFE≌△DBE，
∴AF=BD，
∵AD是BC边中线，
∴CD=BD，
∴AF=CD，
∴四边形CDAF是平行四边形，
（2）如图

过F点作FG⊥AB交BA的延长线于点G．
∵∠CAB=90°，AD是BC边中线，
∴AD=CD
又∵AC=AF，AF=CD，
∴AC=AD=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ABC=30°，
又∵AF∥BC，
∴∠ABC=∠FAG=30°
∵AE=2，
∴AD=AC=AF=4，
∴在Rt△FAG和Rt△CAB中，
FG=FA×sin∠FAG=4sin30°=2，
AG=FA×cos∠FAG=4cos30°=2$\sqrt{3}$，
AB=AC×tan∠ACB=AC×tan60°=4$\sqrt{3}$，
∴GB=AG+BG=6$\sqrt{3}$
∴在Rt△FBG中，BF=$\sqrt{F{G}^{2}+G{B}^{2}}$=4$\sqrt{7}$．

点评 此题是平行四边形的性质和判定题，还考查等边三角形的判定和性质，锐角三角函数的意义，勾股定理，解本题的关键是得出∠ABC=30°，用锐角三角函数求线段的长是解本题的难点．