题目内容
3．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，过点B做射线BB1∥AC，动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动，过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，连接DF，设运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t为2时，AD=AB，此时DE的长度为2；
（2）当△DEF与△ACB全等时，求t的值；
（3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．
①当t＞$\frac{6}{5}$时，设△ADA′的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式；
③当线段A′C′与射线BB1有公共点时，求t的取值范围．
分析 （1）先求出AB，再由运动表示出AD=5t，利用AD=AB建立方程求出t即可；
（2）先判断出四边形BCEF是矩形，分AD＜AE和AD＞AE两种情况建立不等式即可得出结论；
（3）①先判断出△ABC∽△ADH得出比例式即可得出结论；
②找出分界点，当点A'落在射线BB1上的点B时，求出t=$\frac{5}{3}$，当点C'落在射线BB1上时，t=$\frac{43}{15}$即可得出结论．
解答 解：（1）在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，根据勾股定理得，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
由运动知，AD=5t，
∵AD=AB，
∴5t=10，
∴t=2，
∴CD=AD-AC=10-6=4，CE=3t=6，
∴DE=CE-CD=2，
故答案为2，2；
（2）∵∠ACB=90°，BB1∥AC，EF⊥AC，
∴四边形BCEF是矩形，EF=BC=8，
当AD＜AE时，5t＜6+3t，
∴0＜t＜3，
若DE=AC，△ACB≌△DEF，DE=AE-AD=6+3t-5t=6-2t，
∴6-2t=6，
∴t=0，
∵t＞0（不合题意，舍），
当AD＞AE时，5t＞6+3t，
∴t＞3，
若DE=AC，△ACB≌△DEF，DE=AD-AE=5t-6-3t=2t-6，
∴2t-6=6，
∴t=6，
∴当t=6时，△DEF与△ACB全等．
（3）①如图，
∵∠ACB=∠AHD，∠BAC=∠DAH，
∴△ABC∽△ADH，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AH}=\frac{BC}{DH}$，
∴$\frac{10}{5t}=\frac{6}{AH}=\frac{8}{DH}$，
∴AH=3t，DH=4t，
∴S△ADA'=2S△ADH=2×$\frac{1}{2}$AH×DH=AH×DH=12t2，
②当点A'落在射线BB1上的点B时，AA'=AB=10，
∵DH⊥AB，
∴AA'=2AH=2×5t×cos∠A=6t=10，
∴t=$\frac{5}{3}$，
当点C'落在射线BB1上时，CC'∥AB，
∵BB1∥AC，
∴四边形ACC'B为平行四边形，
∴CC'=AB=10，
∵CC'=2CD×cos∠A=2×（5t-6）×$\frac{6}{10}$=$\frac{6}{5}$（5t-6），
∴t=$\frac{43}{15}$，
∴$\frac{5}{3}$≤t≤$\frac{43}{15}$，线段A'C'与射线BB1有公共点．
点评 此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的性质，矩形的判断和性质，全等三角形的判断和性质，相似三角形的判定和性质，解（1）的关键是利用AD=AB建立方程，解（2）的关键是分两种情况讨论计算，解（3）①的关键是判断出△ABC∽△ADH，解（3）②的关键是找出分界点，求出分界点位置的时间t，是一道中考常考题．
如图，A处在C处的北偏西30°方向，B处在C处的北偏东45°方向，A处在B处的北偏西70°方向，求∠BAC的度数．
如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2是一个边长为（a-1）的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为S1，S2，则$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$可化简为$\frac{a+1}{a-1}$．
在今年我县初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小英和小西所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，如图，下列说法正确的是（ ）| A． | 小英的速度随时间的增大而增大 | |
| B． | 小西的平均速度比小英的平均速度大 | |
| C． | 在起跑后180秒时，两人相遇 | |
| D． | 在起跑后50秒时，小西在小英的前面 |
如图，在△ABC中，AB的中垂线交AB于点，交BC于点D，若△ADC的周长为17cm，AC=5cm，则BC的长为（ ）| A． | 7cm | B． | 10cm | C． | 12cm | D． | 22cm |