Question

2．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AC=6，OC=4，求PA的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，由AC=6，OC=4，可求OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．

解答 （1）证明：连接OB，则OA=OB，

∵OP⊥AB，
∴AC=BC，
∴OP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
在△PAO和△PBO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{OP=PO}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△PAO≌△PBO（SSS）
∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，
∵PB为⊙O的切线，B为切点，
∴∠PBO=90°，
∴∠PAO=90°，
即PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线；

（2）解：连接BE，

∵OC=4，AC=6，
∴AB=12，
在Rt△ACO中，
由勾股定理得：AO=$\sqrt{A{C}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴AE=2OA=4$\sqrt{13}$，OB=OA=2$\sqrt{13}$，
在Rt△APO中，
∵AC⊥OP，
∴AC²=OC•PC，
解得：PC=9，
∴OP=PC+OC=13，
在Rt△APO中，由勾股定理得：AP=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}$=3$\sqrt{13}$，

点评 本题考查了全等三角形的判断和性质，切线的性质和判定，做好本题是明确两点：①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．