Question

12．如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．
（1）求证：AE=BD；
（2）求证：MN∥AB．
（3）设AE和DB的交点为F，连FC，求证：FC平分∠AFB．

Answer 1

分析 （1）先由△ACD和△BCE是等边三角形，可知AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，故可得出∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，根据SAS定理可知△ACE≌△DCB，由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由（1）中△ACE≌△DCB，可知∠CAM=∠CDN，再根据∠ACD=∠ECB=60°，A、C、B三点共线可得出∠DCN=60°，由全等三角形的判定定理可知，△ACM≌△DCN，故MC=NC，再根据∠MCN=60°可知△MCN为等边三角形，故∠NMC=∠DCN=60°故可得出结论．
（3）作CP⊥AE，CQ⊥DB，由△ACE≌△DCB可得它们的面积相等，即可得到CP=CQ，再由角平分线的逆定理可得FC平分∠AFB．

解答 证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，
∵∠DCA=∠ECB=60°，
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，
在△ACE与△DCB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=BD；
（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，
∴∠CAM=∠CDN，
∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三点共线，
∴∠DCN=60°，
在△ACM与△DCN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠MAC=∠NDC}\\{AC=DC}\\{∠ACM=∠DCN}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴MC=NC，
∵∠MCN=60°，
∴△MCN为等边三角形，
∴∠NMC=∠DCN=60°，
∴∠NMC=∠DCA，
∴MN∥AB．
（3）作CP⊥AE，CQ⊥DB，
∵△ACE≌△DCB，
∴S_△ACE=S_△DCB，
∴$\frac{1}{2}$AE•PC=$\frac{1}{2}$BD•CQ，
∴PC=CQ，
∵CP⊥AE，CQ⊥DB，
∴∠AFC=∠BFC，
∴FC平分∠AFB．

点评 本题考查的是等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，根据题意判断出△ACE≌△DCB，△ACM≌△DCN是解答此题的关键．