Question

12．如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切与点D，AC⊥CD于C，并交⊙O于E，连接DE
（1）求证：AD平分∠CAB
（2）若CE=2，sin∠EAD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求⊙O的半径OA的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，如图，利用切线的性质得OD⊥CD，则可判断OD∥AC，所以∠CAD=∠ODA，加上∠OAD=∠ODA，于是得到∠OAD=∠CAD；
（2）连接BD，如图，利用圆周角定理得到∠ADB=90°，∠CED=∠B，则∠BAD=∠CDE，所以sin∠BAD=sin∠CDE=sin∠EAD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，在Rt△CDE中，利用正弦可计算出sDE=2$\sqrt{5}$，再证明DE=BD=2$\sqrt{5}$，然后在Rt△ABD中利用正弦的定义可求出AB，从而得到OA的长．

解答 （1）证明：连接OD，如图，
∵CD与⊙O相切与点D，
∴OD⊥CD，
∵AC⊥CD，
∴OD∥AC，
∴∠CAD=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠OAD=∠CAD，
即AD平分∠CAB；
（2）解：连接BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠CED=∠B，
∴∠BAD=∠CDE，
而∠BAD=∠CAD，
∴sin∠BAD=sin∠CDE=sin∠EAD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△CDE中，sin∠CDE=$\frac{CE}{DE}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴DE=$\frac{2×5}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{BD}$，
∴DE=BD=2$\sqrt{5}$，
在Rt△ABD中，sin∠BAD=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴AB=$\frac{2\sqrt{5}×5}{\sqrt{5}}$=10，
∴OA=$\frac{1}{2}$AB=5．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了解直径三角形．