Question

7．如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，直线y=-$\frac{3}{4}$x-6与x轴、y轴分别相交于A，B两点．
（1）求出A，B两点的坐标；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在圆M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；
（3）设（2）中的抛物线交x轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得
S_△PDE=$\frac{1}{10}$S_△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数与坐标轴交点坐标求法得出答案即可；
（2）利用顶点式由B点坐标求出二次函数解析式即可；
（3）首先求出△ABC的面积，进而求出D，E坐标，设P（t，-$\frac{1}{2}$x²-4x-6），根据S_△PDE=$\frac{1}{10}$S_△ABC，得到|-$\frac{1}{2}$t²-4t-6|=1，分两种情况讨论即可求出P点坐标．

解答 解：（1）对于直线y=-$\frac{3}{4}$x-6，
当x=0，y=-6；
当y=0，得0=-$\frac{3}{4}$x-6，解得x=-8．
故A（-8，0），B（0，-6）；
（2）在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙M的直径，
∴点M为AB的中点，M（-4，-3），
∵MC∥y轴，MC=5，
∴C（-4，2），
设抛物线的解析式为y=a（x+4）²+2，
把B（0，-6）代入得16a+2=-6，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+4）²+2，即y=-$\frac{1}{2}$x²-4x-6，
（3）存在．
如图，当y=0时，-$\frac{1}{2}$（x+4）²+2=0，解得x₁=-2，x₂=-6，
∴D（-6，0），E（-2，0），
S_△ABC=S_△ACM+S_△BCM=$\frac{1}{2}$×CM×8=20，
设P（t，-$\frac{1}{2}$x²-4x-6），
∵S_△PDE=$\frac{1}{10}$S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$（-2+6）|-$\frac{1}{2}$t²-4t-6|=$\frac{1}{10}$×20，
即|-$\frac{1}{2}$t²-4t-6|=1，
当-$\frac{1}{2}$t²-4t-6=-1，解得t₁=-4+$\sqrt{6}$，t₂=-4-$\sqrt{6}$，此时P点坐标为（-4+$\sqrt{6}$，-1）或（-4-$\sqrt{6}$，-1）；
当-$\frac{1}{2}$t²-4t-6=1，解得t₁=-4+$\sqrt{2}$，t₂=-4-$\sqrt{2}$，此时P点坐标为（-4+$\sqrt{2}$，1）或（-4-$\sqrt{2}$，1）．
综上所述，P点坐标为（-4+$\sqrt{6}$，-1）或（-4-$\sqrt{6}$，-1）或（-4+$\sqrt{2}$，1）或（-4-$\sqrt{2}$，1）时，使得S_△PDE=$\frac{1}{10}$S_△ABC．

点评 此题主要考查了二次函数的综合应用以及顶点式求二次函数解析式和一元二次方程的解法，此题综合性较强，用到分类讨论思想，注意不要漏解．