Question

20．（1）求证：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
（2）如图，AD是△ABC的角平分线，求证：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$．

Answer 1

分析 （1）先写出已知、求证，根据角平分线的定义得到∠POE=∠POF，由垂直的定义得∠PEO=∠PFO=90°，易证得△PEO≌△PFO，根据三角形全等的性质即可得到PE=PF；
（2）先过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，由于BE∥AC，利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性质可有$\frac{BD}{CD}=\frac{BE}{AC}$，而利用AD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，等量代换即可证．

解答 解：已知：OC平分∠AOB，点P为OC上任一点，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
求证：PE=PF已知：OC平分∠AOB，点P为OC上任一点，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
求证：PE=PF
证明：∵OC平分∠AOB，
∴∠POE=∠POF，
∵PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴∠PEO=∠PFO=90°，
在△PEO和△PFO中$\left\{\begin{array}{l}{∠PEO=∠PFO}\\{∠POE=∠POF}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△PEO≌△PFO（AAS），
∴PE=PF，
∴角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
（2）如图

过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，
∵BE∥AC，
∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，
∴△BDE∽△CDA，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{BE}{AC}$，
又∵AD是角平分线，
∴∠E=∠DAC=∠BAD，
∴BE=AB，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$．

点评 本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质．