Question

5．已知平行四边形ABCD的两邻边AB、AD的长是关于x的一元二次方程x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？
（2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质可得出AB=AD，由根的判别式即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值；
（2）将x=2代入一元二次方程可求出m的值，再根据根与系数的关系即可得出AB+AD的值，利用平行四边形的性质即可求出平行四边形ABCD的周长．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0的两个实数根，
∴△=（-m）²-4（$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$）=m²-2m+1=0，
解得：m=1．
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
（2）将x=2代入x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0中，得：4-2m+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0，
解得：m=$\frac{5}{2}$，
∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0的两个实数根，
∴AB+AD=m=$\frac{5}{2}$，
∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+AD）=2×$\frac{5}{2}$=5．

点评 本题考查了根的判别式、菱形的性质、平行四边形的性质以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）根据根的判别式找出关于m的一元二次方程；（2）将x=2代入原方程求出m值．