Question

5．我市干鲜经销公司，进了一种海味虾米共2000千克．进价为每千克20元，物价局规定其销售单价不得高于每千克50元，也不得低于每千克20元．市场调查发现：单价定为50元时，每天平均销售30千克；单价每降低1元，每天平均多售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用400元（天数不足一天时按整天计算）．设销售单价为每千克x元，每天平均获利为y元，请解答下列问题：
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）当销售单价是每千克多少元时，每天平均获利最多，最多利润是多少元？
（3）若将这种虾米全部售出，比较每天平均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利润最多？多多少？

Answer 1

分析 （1）由日均获利y=（售价-成本）×销售量-其他费用400元，由此关系式列出函数关系式；
（2）由（1）中的关系式配方，求最大值．
（3）分别计算出日均获利最多时的利润额和销售单价最高时的利润额，做差比较即可．

解答 解：（1）y=（x-20）（30+2•$\frac{50-x}{1}$）-400=-2x²+170x-3000 （20≤x≤50），
答：y与x之间的函数关系式为y=-2x²+170x-3000（20≤x≤50）；

（2）y=-2x²+170x-3000=-2（x-$\frac{85}{2}$）²+612.5
∵a=-2＜0，
∴二次函数开口向下，
∴当x=$\frac{85}{2}$时，y_最大=612.5
答：当销售单价是每千克$\frac{85}{2}$元时，每天平均获利最多，最多利润是612.5元；

（3）当每日平均获利最多时，x=$\frac{85}{2}$，日销售量=30+2×（50-x）=45，
∴销售天数为2000÷45=44$\frac{4}{9}$≈45，
∴获总利润为：（$\frac{85}{2}$-20）×2000-45×400=27000（元）；
当销售单价最高时，x=50，日销售量=30，
∴销售天数为2000÷30=66$\frac{2}{3}$≈67
∴获总利润为：2000×（50-20）-67×400=33200；
故当销售单价最高时获总利润最多．
33200-27000=6200（元）
答：销售单价最高这种销售方式获总利润最多，多6200元．

点评 本题考查了二次函数的实际应用，依据：销售问题的数量关系日获利=每千克的获利×销售数量-支出费用运用，求出函数的解析式是关键．