如图.已知直线y=-x+3与x轴.y轴分别交于A.B两点.抛物线y=-x2+bx+c经过A.B两点.点P在线段OA上.从点O出发.向点A以1个单位/秒的速度匀速运动,同时.点Q在线段AB上.从点A出发.向点B以 $\sqrt{2}$个单位/秒的速度匀速运动.连接PQ.设运动时间为t秒．(1)求抛物线的解析式,(2)问:当t为何值时.△APQ为直角三角形,(3)设抛物线顶� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．

如图，已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=-x²+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以 $\sqrt{2}$个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；
（3）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）先由直线AB的解析式为y=-x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=-x²+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）由直线与两坐标轴的交点可知：∠QAP=45°，设运动时间为t秒，则QA=$\sqrt{2}$t，PA=3-t，然后再图①、图②中利用特殊锐角三角函数值列出关于t的方程求解即可；
（3）设运动时间为t秒，可得OP=t，BQ=$\sqrt{2}$（3-t），然后分别从当△BOP∽△QBM时与当△BOP∽△MBQ时，去分析求解即可求得答案．

解答解：（1）∵y=-x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0），
当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），
将A（3，0），B（0，3）代入y=-x²+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°，
∴∠QAP=45°．
如图①所示：∠PQA=90°时，设运动时间为t秒，则QA=$\sqrt{2}$t，PA=3-t．
在Rt△PQA中，$\frac{QA}{PA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即：$\frac{\sqrt{2}t}{3-t}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：t=1；
如图②所示：∠QPA=90°时，设运动时间为t秒，则QA=$\sqrt{2}$t，PA=3-t．
在Rt△PQA中，$\frac{PA}{QA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即：$\frac{3-t}{\sqrt{2}t}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：t=$\frac{3}{2}$．
综上所述，当t=1或t=$\frac{3}{2}$时，△PQA是直角三角形；

（3）如图③所示：
设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=$\sqrt{2}$（3-t）．
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴点M的坐标为（1，4）．
∴MB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
过点M作MH⊥y轴于点H，
∵MH=NH=1，OB=OA=3，
∴∠MBH=∠ABO=45°，
∴∠MBQ=90°，
当△BOP∽△QBM时，$\frac{MB}{OP}=\frac{BQ}{OB}$，即：$\frac{\sqrt{2}}{t}=\frac{\sqrt{2}（3-t）}{3}$，整理得：t²-3t+3=0，
△=3²-4×1×3＜0，无解：
当△BOP∽△MBQ时，$\frac{BM}{OB}=\frac{BQ}{OP}$，即：$\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{\sqrt{2}（3-t）}{t}$，解得t=$\frac{9}{4}$．
∴当t=$\frac{9}{4}$时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似．