Question

15．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点B（-2，2），过反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0，常数k＜0）图象上一点A（-$\frac{1}{2}$，m）作y轴的平行线交直线l：y=x+2于点C，且AC=AB．

（1）分别求出m、k的值，并写出这个反比例函数解析式；
（2）发现：过函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）图象上任意一点P，作y轴的平行线交直线l于点D，请直接写出你发现的PB，PD的数量关系PB=PD；
应用：①如图2，连接BD，当△PBD是等边三角形时，求此时点P的坐标；
②如图3，分别过点P、D作y的垂线交y轴于点E、F，问是否存在点P，使得矩形PEFD的周长取得最小值？若存在，请求出此时点P的坐标及矩形PEFD的周长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出AC、AB的表达式，根据AC=AB求出m的值，然后利用待定系数法求出k的值即可；
（2）设P（-m，$\frac{2}{m}$）（m＞0），则D（-m，-m+2），根据勾股定理求出PB的长即可；①由△PBD是等边三角形，于是得到PB=BD=PD，根据等边三角形的性质得到（2-m）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$（$\frac{2}{m}$+m-2）解得：m=3-$\sqrt{3}$，或m=$\sqrt{3}$-1，于是得到P（$\sqrt{3}$-3，$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$）或P（1-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$+1）；②根据矩形的周长的计算公式得到矩形PEFD的周长=（$\frac{2}{\sqrt{m}}$-$\sqrt{m}$）²+4，根据二次函数的性质即可得到结论．

解答 解：（1）AC=m-$\frac{3}{2}$，AB=$\sqrt{\frac{9}{4}+（m-2）^{2}}$，
∵AC=AB，
∴m=4，
∴点A（-$\frac{1}{2}$4），
∴k=-2，
∴y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）；

（2）设P（-m，$\frac{2}{m}$）（m＞0），则D（-m，-m+2），
∴PD=$\frac{2}{m}$-（-m+2）=$\frac{2}{m}$+m-2，
BP=$\sqrt{（m+2）^{2}+（-\frac{2}{m}-2）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{2}{m}+m-2）^{2}}$=$\frac{2}{m}$+m-2，
∴PD=PB；
故答案为：PB=PD；
①∵△PBD是等边三角形，
∴PB=BD=PD，
∵PD∥y轴，
∴（2-m）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$（$\frac{2}{m}$+m-2）
∴$\frac{2}{m}$+m-2=$\sqrt{（m+2）^{2}+（m+2-2）^{2}}$，
∴m=3-$\sqrt{3}$，或m=$\sqrt{3}$-1，
∴P（1-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$+1）；
②答：存在满足题设条件的点P．
设P（-m，$\frac{2}{m}$）（m＞0），则D（-m，-m+2），
∴矩形PEFD的周长=2（PD+PE）=2（$\frac{2}{m}$+m-2+m）=$\frac{4}{m}$+4m-4=（$\frac{2}{\sqrt{m}}$-$\sqrt{m}$）²+3m，
∴当$\frac{2}{\sqrt{m}}$-$\sqrt{m}$=0，即m=2时，P（-1，2）时，矩形PEFD的周长取得最小值为4．

点评 本题考查了反比例函数综合题，涉及勾股定理、存在性问题，综合性很强，要灵活处理，同时注意从多角度解题．