题目内容

10．如图，将一个等腰Rt△ABC对折，使∠A与∠B重合，展开后得折痕CD，再将∠A折叠，使C落在AB上的点F处，展开后，折痕AE交CD于点P，连接PF、EF，下列结论：①tan∠CAE=$\sqrt{2}$-1；②图中共有4对全等三角形；③若将△PEF沿PF翻折，则点E一定落在AB上；④PC=EC；⑤S四边形DFEP=S△APF．正确的个数是（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个

分析 ①正确．作EM∥AB交AC于M．设CM=CE=a，则ME=AM=$\sqrt{2}$a，根据tan∠CAE=$\frac{CE}{AC}$即可判断．
②正确．根据△CDA≌△CDB，△AEC≌△AEF，△APC≌△APF，△PEC≌△PEF即可判断．
③正确．由△PEC≌△PEF得到∠PFA=∠PFE=45°，由此即可判断．
④正确．只要证明∠CPE=∠CEP=67.5°，
⑤错误．假设结论成立，推出矛盾即可．

解答 解：①正确．作EM∥AB交AC于M．
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵∠CAE=∠BAE=$\frac{1}{2}$∠CAB=22.5°，
∴∠MEA=∠EAB=22.5°，
∴∠CME=45°=∠CEM，设CM=CE=a，则ME=AM=$\sqrt{2}$a，
∴tan∠CAE=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{a}{a+\sqrt{2}a}$=$\sqrt{2}$-1，故①正确，
②正确．△CDA≌△CDB，△AEC≌△AEF，△APC≌△APF，△PEC≌△PEF，故②正确，
③正确．∵△PEC≌△PEF，
∴∠PCE=∠PFE=45°，
∵∠EFA=∠ACE=90°，
∴∠PFA=∠PFE=45°，
∴若将△PEF沿PF翻折，则点E一定落在AB上，故③正确．
④正确．∵∠CPE=∠CAE+∠ACP=67.5°，∠CEP=90°-∠CAE=67.5°，
∴∠CPE=∠CEP，
∴CP=CE，故④正确，
⑤错误．∵△APC≌△APF，
∴S△APC=S△APF，
假设S△APF=S四边形DFPE，则S△APC=S四边形DFPE，
∴S△ACD=S△AEF，
∵S△ACD=$\frac{1}{2}$S△ABC，S△AEF=S△AEC≠$\frac{1}{2}$S△ABC，
∴矛盾，假设不成立．
故⑤错误．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、翻折变换，解题的关键是利用翻折不变性推出相等的线段、角，学会通过计算证明角相等，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．

练习册系列答案
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