Question

6．在△ABC中，AB=AC．
（1）如图①，若P是BC上的任意一点，连接AP，求证：AB²-AP²=BP•CP；
（2）如图②，若P是BC延长线上的一点，连接AP，则还能得到（1）中的结论吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过A作AM⊥BC于M，AB²=AM²+BM²，AP²=AM²+MP²，利用平方差公式，结合图形，即可得出结论；
（2）过A作AM⊥BC于M，AB²=AM²+BM²，AP²=AM²+MP²，利用平方差公式，结合图形，即可得出结论；

解答 （1）证明：如图①所示：过A作AM⊥BC于M，
则在Rt△ABM和Rt△APM中，
AB²=AM²+BM²，AP²=AM²+MP²，
则AB²-AP²=BM²-MP²=（BM+MP）（BM-MP）=CP（CM-MP）=BP•CP；
（2）解：不能成立；理由如下：如图②所示：
过A作AM⊥BC于M，
则在Rt△ABM和Rt△APM中，
AB²=AM²+BM²，AP²=AM²+MP²
AP²-AB²=MP²-BM²=（MP+BM）（MP-BM）=BP（MP-CM）=BP•CP，
∴AP²-AB²=BP•CP．

点评 本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理及平方差公式的形式．