Question

11．△ABC中，AB=6，AC=4，BC=5．
（1）如图1，若AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，求CE的长与$\frac{CD}{BD}$的比值；
（2）如图2，将边AC折叠，使得AC在AB边上，折痕为AM，再将边MB折叠，使得MB'与MC'重合，折痕为MN，求AN的长．

Answer 1

分析 （1）先判定三角形ADE是等腰三角形，再根据平行线分线段成比例定理，求得CE的长；
（2）先根据两角对应相等，判定△ABC∽△NB′C′，再根据相似三角形的对应边成比例，求得NC′与B′N的数量关系，最后结合BC′的长为2，求得NC′的长，进而得到AN的长度．

解答 解：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，
∴∠EAD=∠BAD=∠EDA，
∴ED=EA，即△ADE是等腰三角形，
设CE=x，则AE=4-x=DE，
∵DE∥AB，
∴$\frac{DE}{BA}$=$\frac{CE}{CA}$，即$\frac{4-x}{6}$=$\frac{x}{4}$，
解得，CE=1.6，
∵DE∥AB，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{CE}{EA}$=$\frac{2}{3}$；
（2））由折叠得，∠B=∠B′，∠C=∠MC′A=∠B′C′N，AC=AC′=4，
∴△ABC∽△NB′C′，
∴$\frac{NC′}{NB′}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
设NC′=2a，则BN=B′N=3a，
∵BC=AB-AC′=6-4=2，
∴NC′+BN=2，即2a+3a=2，
解得a=0.4，
∴NC′=2a=4.8，
∴AN=NC′+N′A=4.8．

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质，具有一定的难度．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，解题时应重点把握对应边相等，对应角相等．