Question

18．如图，以AB为直径的⊙O中，CD是弦，CD∥AB，连接AC，BD交于点M．
（1）求证：AM=BM；
（2）若⊙O的半径为4，AC=2AD，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）先平行线的性质，得出∠ACD=∠BAC，再根据圆周角定理，得出∠ACD=∠ABD，即可得到∠BAC=∠ABD，进而得出AM=BM；
（2）设AD=x，则AC=2x，根据$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，得出AC=BD=2x，最后根据∠ADB=90°，得到AD²+BD²=AB²，即x²+（2x）²=8²，求得x的值即可．

解答 解：（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠ACD=∠BAC，
∵∠ACD与∠ABD是$\widehat{AD}$所对的圆周角，
∴∠ACD=∠ABD，
∴∠BAC=∠ABD，
∴AM=BM；

（2）设AD=x，则AC=2x，
由（1）可知∠BAC=∠ABD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{AD}$，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，
∴AC=BD=2x，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD²+BD²=AB²，
∴x²+（2x）²=8²，
又∵x＞0，
∴x=$\frac{8}{5}\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了圆周角定理以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是掌握：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．