Question

16．（1）如图l，Rt△ABD和Rt△ABC的斜边为AB，直角顶点D、C在AB的同侧，求证：A、B、C、D四个点在同一个圆上．
（2）如图2，△ABC为锐角三角形，AD⊥BC于点D，CF⊥AB于点F，AD与CF交于点G，连结BG并延长交AC于点E，作点D关于AB的对称点P，连结PF．求证：点P、F、E三点在一条直线上．
（3）如图3，△ABC中，∠A=30°，AB=AC=2，点D、E、F分别为BC、CA、AB边上任意一点，△DEF的周长有最小值，请你直接写出这个最小值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点O，连结OD，OC，根据OA=OB=OC=OD，可得A、B、C、D四个点在同一个圆上；
（2）连结DF，根据∠1=∠2，且AD⊥BC于点D，CF⊥AB于点F，得出点B、F、E、C四点共圆，∠3=∠4，再根据∠2+∠BFE=180°，得出∠1+∠BFE=180°，即可得到点P、F、E三点在一条直线上；
（3）作点D关于AB的对称点G，作点D关于AC的对称点H，连接GF，HE，则DF=GF，DE=HE，当点G，F，E，H在同一直线上时，GF+FE+EH=GH（最短），此时，DF+FE+DE最短，即△DEF的周长有最小值，连接BE，先求得BE=$\frac{1}{2}$AB=1，再根据勾股定理在Rt△BCE中，求得BC的长，最后根据面积法得出$\frac{1}{2}$×BC×AD=$\frac{1}{2}$×AC×BE，即可得到AD 的长．

解答 解：（1）如图1，取AB的中点O，连结OD，OC，
∵Rt△ABD和Rt△ABC的斜边为AB，
∴OD=$\frac{1}{2}AB$，OC=$\frac{1}{2}AB$，
∴OA=OB=OC=OD，
∴A、B、C、D四个点在同一个圆上．

（2）如图2，连结DF，
∵点D、P关于AB对称，
∴∠1=∠2，
∵AD⊥BC于点D，CF⊥AB于点F，
∴∠2+∠3=90°，∠4+∠BCE=90°，BE⊥AC，点A、C、D、F四点共圆，
∴点B、F、E、C四点共圆，∠3=∠4，
∴∠2=∠BCE，∠BFE+∠BCE=180°，
∴∠2+∠BFE=180°，
∴∠1+∠BFE=180°，
∴点P、F、E三点在一条直线上．

（3）如图3，作点D关于AB的对称点G，作点D关于AC的对称点H，连接GF，HE，则DF=GF，DE=HE，
∴当点G，F，E，H在同一直线上时，GF+FE+EH=GH（最短），
此时，DF+FE+DE最短，即△DEF的周长有最小值，
由轴对称的性质，可得∠GAH=2∠BAC=60°，AG=AD=AH，
∴△AGH是等边三角形，
∴△DEF的周长最小值=GH=AD，
∵当AD⊥BC时，AD有最小值，
∴当AD⊥BC时，△DEF的周长有最小值，
连接BE，
由∠CEH=∠ECH=75°可得，EH=CH，
又∵DE=EH，BD=DC=CH，
∴DE=DC=DB，
∴∠BEC=90°，
∴Rt△ABE中，BE=$\frac{1}{2}$AB=1，AE=$\sqrt{3}$，
∴EC=2-$\sqrt{3}$，
∴Rt△BCE中，BC=$\sqrt{C{E}^{2}+B{E}^{2}}$=2$\sqrt{2-\sqrt{3}}$=2×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
∵$\frac{1}{2}$×BC×AD=$\frac{1}{2}$×AC×BE，
∴$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）×AD=$\frac{1}{2}$×2×1，
∴AD=$\frac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$=$\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}$，
即△DEF的周长有最小值$\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了四点共圆，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，根据两点之间线段最短进行计算求解．解题时注意：面积法的运用可以容易求得等腰三角形底边上的高．如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．