Question

10．抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为D（1，4），交x轴于A、B两点，且经过点C（2，3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，M为线段O、B之间一动点，N为y轴正半轴上一动点，是否存在使M、C、D、N四点围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及M、N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若P是y轴上的点，Q是抛物线上的点，求：以P、Q、A、B为顶点构成平行四边形的点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的表达式为：y=a（x-1）²+4，将C（2，3）代入即可求出a．
（2）如图1中，作D（1，4）关于y轴对称点G（-1，4），C（2，3）关于x轴对称点H（2，-3），连接GH与x轴交于点M，与y轴交于点N，此时四边形CDNM周长最小．利用两点距离公式求出GH，CD即可解决周长的最小值，再求出直线GH即可解决点M、N坐标．
（3）分AB为边、AB为对角线两种情形解决即可．AB为边时注意也有两种情形①当点Q在轴的右侧时，②当点Q在y轴的左侧时；若AB为平行四边形的对角线，如图2，过Q作QF⊥x轴，垂足为F，利用△POB≌△QFA解决问题．

解答 解：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x-1）²+4，
将C（2，3）代入，解得：a=-1
∴抛物线的表达式为：y=-x²+2x+3．
（2）作D（1，4）关于y轴对称点G（-1，4），
C（2，3）关于x轴对称点H（2，-3），
∵CD是一个定值，∴要使四边形MCDN的周长最小，
只要使DN+MN+MC最小即可
由图形的对称性，可知，
DN+MN+MC=GN+NM+HM，
只有当GH为一条直线段时，
可求得：CD=$\sqrt{2}$，GH=$\sqrt{58}$，
∴四边形MCDN的周长最小为$\sqrt{2}$+$\sqrt{58}$，
此时直线GH为y=-$\frac{7}{3}$x+$\frac{5}{3}$，
∴点N（0，$\frac{5}{3}$），点M（0，$\frac{5}{7}$）．
（3）若AB为平行四边形的边，∵AB=4，AB∥PQ且AB=PQ，以为顶点的四边形构成平行四边形，
①当点Q在轴的右侧时，x_Q=4，又∵点Q在抛物线上，
∴y_Q=-5，∴Q₁（4，-5），
②当点Q在y轴的左侧时，x_Q=-4，又∵点Q在抛物线上，
∴y_Q=-21，∴Q₂（-4，-21），
若AB为平行四边形的对角线，如图2，过Q作QF⊥x轴，垂足为F，
∵四边形PAQB为平行四边形，
∴AQ=PB，AQ∥PB，
∴∠QAF=∠PBO
在△AFQ和△BOP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QAF=∠PBO}\\{∠AFQ=∠POB=90°}\\{AQ=PB}\end{array}\right.$，
∴△POB≌△QFA，
∴AF=OB=1
∴x_Q=2，又∵点Q在抛物线上，∴y_Q=3，∴Q₃（2，3），
综上：符合要求的点Q的坐标为：Q₁（4，-5），Q₂（-4，-21），Q₃（2，3）．

点评 本题考查二次函数、一次函数、平行四边形的性质、对称等知识，学会待定系数法确定函数解析式，利用对称求最小值问题，第三个问题学会分类讨论，利用全等三角形的性质是解题的关键，属于中考压轴题．