Question

20．如图，正比例函数y=-2x与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第二象限交于点A（-1，m），将函数y=-2x的图象向下平移3个单位长度与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象分别交于B、C两点，连结AB，AC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据点A（-1，m）在函数y=-2x的图象上，可得点A（-1，2），代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，可得k的值；
（2）通过解方程组可得点B（-2，1），C（$\frac{1}{2}$，-4），过点A作AD∥y轴交直线BC于点D（-1，-1），根据割补法即可得到△ABC的面积．

解答 解：（1）∵点A（-1，m）在函数y=-2x的图象上，
∴m=-2×（-1）=2，
∴点A（-1，2），
代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，可得k=-1×2=-2，
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{2}{x}$；

（2）由题意知，直线BC为y=-2x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}y=-2x-3\\ y=-\frac{2}{x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=-2\\{y_1}=1\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=\frac{1}{2}\\{y_2}=-4\end{array}\right.$，
∴点B（-2，1），C（$\frac{1}{2}$，-4），
如图，过点A作AD∥y轴交直线BC于点D，
在y=-2x-3中，令x=-1，则y=-1，
即D（-1，-1），
∴${S_{△ABC}}={S_{△ABD}}+{S_{△ADC}}=\frac{1}{2}•AD•（{x_C}-{x_B}）$
$\begin{array}{l}=\frac{1}{2}•AD•（{x_C}-{x_B}）=\frac{1}{2}•（2+1）•（\frac{1}{2}+2）\\=\frac{15}{4}\end{array}$
故△ABC的面积为$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求函数解析式，解题时注意：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．