Question

16．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，∠C=30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）填空：当t=$\frac{3}{2}$秒时，四边形BEDF是矩形．
（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，并求出此时四边形AEFD的面积； 如果不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠DFC=90°，∠C=30°，证出DF=t=AE；
（2）当四边形BEDF是矩形时，△DEF为直角三角形且∠EDF=90°，求出t的值即可；
（3）先证明四边形AEFD为平行四边形．得出AB=3，AD=AC-DC=6-2t，若△DEF为等边三角形，则四边形AEFD为菱形，得出AE=AD，t=6-2t，求出t的值即可．

解答 （1）证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF；

（2）∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE．即6-2t=2t，
∴t=$\frac{3}{2}$．
故答案是：$\frac{3}{2}$；

（3）能；
 理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∵∠C=30°，AC=10，
∴AB=3，BC=3$\sqrt{3}$
∴AD=AC-DC=6-2t，
若使△DEF能够成为等边三角形，
则平行四边形AEFD为菱形，则AE=AD，
∴t=6-2t，
∴t=2；
即当t=2时，△DEF为等边三角形．
∴当t=2时，四边形AEFD能够成为菱形．
此时AE=DF=2，CF=2$\sqrt{3}$，
∴BF=3$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴此时四边形AEFD的面积=AE•BF=2$\sqrt{3}$．

点评 本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定与性质以及锐角三角函数的知识；考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．