Question

1．如图，?ABCD中，点E、F在直线AC上，BE∥DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB⊥AC，AB=4，BC=$2\sqrt{13}$，请你探索四边形BFDE可能是哪种特殊的平行四边形，并给出此时线段AE的长．

Answer 1

分析 （1）由全等三角形的判定定理AAS证得结论；
（2）四边形BFDE可能是矩形，连接BD，BD与AC相交于点O，利用勾股定理的逆定理和矩形的判定定理进行解答．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∴∠BAE=∠DCF，
又∵∠DF∥BE，
∴∠BEF=∠DFE，
∴∠AEB=∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠CFD}\\{∠BAE=∠DCF}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；

（2）解：四边形BFDE可能是矩形，理由如下：
连接BD，BD与AC相交于点O，如图，
∵AB⊥AC，AB=4，BC=2$\sqrt{13}$，
∴AC=6，
∴AO=3．
∴Rt△BAO中，BO=5，
∵四边形BEDF是矩形，
∴OE=OB=5，
∴点E在OA的延长线上，且AE=2．

点评 本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．