Question

5．数学活动课上，老师出示了一个问题：
如图1，△ABC≌△DEF（点A、B分别与点D、E对应），AB=AC，现将△ABC与△DEF按如图所示的方式叠放在一起，现将△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC边从B向C移动（不与B、C重合），DE始终经过点A，EF与AC交于M点．求证：△ABE∽△ECM．
（1）请解答老师提出的问题．
（2）受此问题的启发，小明将△DEF绕点E按逆时针旋转，使DE、EF分别交AB、AC边于点N、M，连接MN，如图2，当EB=EC时，小明猜想△NEM与△ECM相似，小明的猜想正确吗？请你作出判断并说明理由；
（3）在（2）的条件下，以E为圆心，作⊙E，使得AB与⊙E相切，请在图3中画出⊙E，并判断直线MN与⊙E的位置关系，说明理由．

Answer 1

分析 （1）欲证明△ABE∽△ECM，只要证明∠B=∠ECM，∠BAE=∠CEM．
（2）结论正确．先证明△BNE∽△CEM，得$\frac{NE}{EM}$=$\frac{BE}{CM}$，因为BE=EC，所以$\frac{NE}{EM}$=$\frac{EC}{CM}$，即$\frac{NE}{EC}$=$\frac{EN}{CM}$，因为∠NEM=∠C，即可证明△NEM∽△ECM．
（3）结论：直线MN与⊙E相切．如图3中，设⊙E与AB相切于点G，作EH⊥NM于H．首先证明∠ENB=∠ENM，再根据角平分线的性质定理即可证明．

解答 （1）证明：如图1中，

∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ECM，
∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠DEF+∠CEM，
∴∠CEM=∠BAE，
∴△ABE∽△ECM．

（2）结论正确．
理由：如图2中，

∵∠NEC=∠B+∠ENB=∠NEF+∠CEM，∠NEF=∠B，
∴∠ENB=∠CEM，∵∠B=∠ECM，
∴△BNE∽△CEM，
∴$\frac{NE}{EM}$=$\frac{BE}{CM}$，∵BE=EC，
∴$\frac{NE}{EM}$=$\frac{EC}{CM}$，
∴$\frac{NE}{EC}$=$\frac{EN}{CM}$，∵∠NEM=∠C，
∴△NEM∽△ECM．

（3）结论：直线MN与⊙E相切．
理由：如图3中，设⊙E与AB相切于点G，作EH⊥NM于H．

由（2）可知△BNE∽△CEM，△NEM∽△ECM．
∴∠BNE=∠CEN=∠ENM，
∵AB是⊙E的切线，
∴EG⊥NB，∵EH⊥NM，
∴EG=EH，
∴NM是⊙E的切线．

点评 本题考查全等三角形的性质、相似三角形的判定和性质、圆、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，学会利用角平分线的性质定理添加辅助线，属于中考压轴题．