Question

15．如图，O是正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，将点E绕着点C按顺时针方向旋转90°得到点F，连接CF，DF，BE的延长线交DF于点G，连接OG．
（1）求证：BE=DF；
（2）OG与BC有怎样的位置关系？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由旋转性质知CE=CF，结合正方形性质即可证△BCE≌△DCF，可得结论；
（2）OG∥BC，先证∠CDG+∠DEG=90°即∠DGB=∠FGB=90°，再证△DGB≌△FGB即可得DG=FG即G为DF中点，继而可知OG是△BDF中位线，从而得证．

解答 证明：（1）在△BCE和△DCF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{∠BCD=∠DCF=90°}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴BE=DF；

（2）OG∥BC，
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠FDC，
∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEG，
∴∠CDG+∠DEG=90°，
∴∠DGB=∠FGB=90°，
在△DGB和△FGB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DBG=FBG}\\{BG=BG}\\{∠DGB=∠FGB}\end{array}\right.$，
∴△DGB≌△FGB（ASA），
∴DG=FG，即G为DF中点，
又∵点O是BD中点，
∴OG是△BDF中位线，
∴OG∥BC．

点评 本题主要考查旋转的性质、正方形的性质及全等三角形的性质的综合运用，灵活运用全等三角形的性质证明对应角相等、对应线段相等是解题的关键．