Question

3．已知，如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，∠BAC的平分线交DE于点O，OM⊥AB于M，ON⊥AC的延长线于N．求证：BM=CN．

Answer 1

分析 因为ED是BC的垂直平分线，那么BD=CD，而AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，根据角平分线的性质可得DM=DN，再根据HL可判定Rt△BMD≌Rt△CND，从而有BM=CN．

解答 证明：连接BD，CD，如图，
∴DE是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∵AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△BMD和Rt△CND中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△BMD≌Rt△CND（HL），
∴BM=CN．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的定义以及性质，掌握角平分线的性质以及具体的应用．